Integrální transformace

úvod

Zpracování signálů a práce s nimi v časové oblasti (nebo signálů obrazových v jasové reprezentaci) je výhodná pouze pro některé operace. Z hlediska jiných operací je výhodnější provést transformaci do nového prostoru, kde je možné aplikovat tytéž operace výhodněji, nebo použít operace, které jsou v původním prostoru nepoužitelné. Pro tento přístup je nutné si uvědomit, že zdrojová a cílová data jsou (většinou) v jedné doméně, zatímco výpočty probíhají v doméně jiné. Tento postup je tedy výhodný pro operace, které v původním prostoru nemají smysl, nebo u kterých je výhodnější provést dva převody dat mezi doménami a výpočet v nové doméně. Každý z přístupů (prostorový x frekvenční) má své výhody a nevýhody a i přístup k řešení problémů je mírně odlišný (tvorba filtrů, vhodnost, časová náročnost). intgrální , okenkové , wavelet

Mezi transformace, které lze takto použít při zpracování signálu můžeme zařadit Fourierovu transformaci, Laplaceovu transformaci, wavelety a jim podobné transformace.

stručná charakteristika

Integrální transformace je taková transformace, která pomocí integrálního vztahu převádí jednu funkci (signál) na jinou za pomoci funkce dvou proměnných (zde například K(x,u)) (označovaná jako kernel – transformační jádro). Dochází tak k převodu z prostoru jedné proměnné do prostoru druhé proměnné. Tuto transformaci lze také chápat jako určitý typ operátoru, který se aplikuje na funkci a převádí ji na funkci s jiným parametrem. I když se většinou využívá pro reálné systémy, jedná se obecně o komplexní funkce komplexních proměnných. Pro převody slouží transformace přímá a zpětná – inverzní. Základní myšlenkou transformací je převod složitého signálu do nového prostoru tvořeného množinou jednoduchých funkcí tvořících ortonormální bází. Jinými slovy – složitá funkce se dá vyjádřit jako součet funkcí jednodušších (které by měly tvořit bázi a by výpočty dávaly smysl).

(1)

(2)

Nejčastěji dochází k převodu do frekvenční domény, kdy je bází soustava harmonických funkcí. Jelikož ani jedna z reprezentací není „úplná“ (v časové doméně nejsou vidět harmonické složky, ve frekvenční není zřejmý výsledný signál, zejména jeho rozložení v čase) existují snahy o kombinaci obou principů (okénkování (prostorově frekvenční vyjádření za pomoci posunujícího se okna sloužícího k výběru části signálu z nějž se dělá (postupně) FT), SFTF, wavelety), kdy jsou vidět frekvenční složky i jejich rozložení v čase.

základní terminologie

jednorozměrný (1D), dvourozměrný (2D), vícerozměrný – udává kolik rozměrů / os signál má. Obrazový signál je dvourozměrný.
originál (vstupní signál = snímek) - je v prostorové (,časové) doméně (space domain)
Originál převedený pomocí transformace nazýváme obraz (=transformaci, pozor – kolize se vstupními daty, které též nazýváme obrazem=snímkem), který  je v doméně frekvenční.
Perioda udává po jakém čase se signál opakuje. Často se opakování signálu vyjadřuje i pomocí frekvence, která je nepřímo úměrná periodě.

Souřadnicemi v prostorové doméně jsou nejčastěji vzdálenosti pixelů od středu (který lze volit libovolně,  ale pevně) – což je klasická (x,y) souřadná soustava.

požadavky na funkce pro převody pomocí integrální transformace – mají konečný počet nespojitostí, nemají nespojitosti s nekonečnou amplitudou, integrál absolutní hodnoty funkce je konečné číslo (integrabilní funkce), báze je ortonormální

typy, popisy a vlastnosti

Transformace je možné rozlišit podle typu převodu, ktetrý má také vliv na to, na jaký typ signálu se nejlépe hodí, to je k řešení jakého problému jsou vhodnější. Dalším aspektem je to, že se vyskytují ve variantách pro spojitý i diskrétní signál. V některých variantách dochází i k tomu, že spojitý signál má diskrétní obraz, či naopak. Jelikož se jedná o integrální metody, plyne z tohoto, že výpočet je značně náročný. Výpočetní náročnost je možné snížit, k čemuž slouží tak zvané rychlé algoritmy. Většinou jsou spojeny s omezujícími podmínkami vstupního a výstupního signálu, dosahují však velice dobrých výsledků co do rychlosti i kvality. Ke zrychlení se také využívá optimalizací na základě znalosti, že vstupní signál je v praktických úlohách reálný. Transformace je možné použít v jednorozměrné, nebo vícerozměrné variantě. Při zpracování obrazu se tedy nejčastěji využívají jednorozměrné (1D) a dvourozměrné (2D) varianty.

Mezi nejznámější integrální transformace patří:
Fourierova řada, Taylorova a Laurentova řada – matematické základy ze kterých vychází integrální transformace
Fourierova transformace (FT), Diskrétní FT (DFT), Rychlá FT (FFT) – patrně obecně nejpoužívanější transformace. Vhodná pro periodické signály.
Laplaceova transformace (+-nekonečno, 0-nekonečno) – vhodná pro řešení úloh se signály a systémy, obecnější než FT, počítá s tlumenými periodickými signály.
(Diskrétní) Cosinová transformace (CT, DCT) – využívá pouze část členů. Využívá se především při komprimaci signálů (vhodnější rozložení energie po transformaci) (aplikace ve formátu JPEG, MPEG)
(Diskrétní) Sinová transformace (ST, DST) - vhodná pro signály s nulovými hodnotami na okrajích
Wavelety – nejmodernější přístup. Složitější vlastnosti než klasické transformace. Široká možnost využití. Bázi tvoří složitější lokální filtry, které mají různé měřítka a respektují (pro 2D) i různé orientace. Obraz je prostorově frekvenční.

Při převodu se jedná o transformace – převody komplexních čísel. Jedná se o bezztrátové lineární transformace.

Výhodou využití transformací je snadná manipulace se signály a systémy a jejich vzájemné působení. Zjednodušení některých operací nad signálem.

Nevýhodou jsou pracnější výpočty, zejména nutnost převodů (přímá a zpětná/inverzní transformace). Problémy může také činit horší představivost ve frekvenční oblasti.

využití

Transformací se využívá hlavně při zpracování signálů. Hlavní výhodou je to, že konvoluce (či korelace, to je základní princip modifikace signálu) je v původní doméně složitý (konvolutorní) integrál, zatímce po transformaci se mění na „pouhé“ násobení. Díky tomu jsou potom výpočty prováděné na signály podstatně jednodušší. Integrální transformace tedy slouží především k modifikaci a zpracování signálů modifikovaných systémy (například filtry, reálnými systémy – optika, šum ..., ).

Transformace používáme z důvodu usnadnění výpočtů, popřípadě proto, že po provedení transformace jsou v novém prostoru „vidět“ vlastnosti, které by v původní doméně nebyly zřejmé.

Stejný postup se využívá ke tvorbě funkcí pro tvorbu okének vhodných pro FT.

Filtry a filtrace

Jelikož základní principy využívané v jednotlivých doménách jsou odlišné, je odlišný i princip při tvorbě filtrů. I když lze používat filtry z jedné domény v doméně druhé, je práce s nimi ve druhé doméně obtížnější. Proto se třídy/typy použitých filtrů v jednotlivých doménách liší. Důvodem pro rozdílný přístup jsou výpočetní časy, pracnost výpočtu a možnosti optimalizace, nevhodnost pro některé výpočty ... v dané reprezentaci při použití stejného filtru. Zatímco v prostorové doméně se často využívají filtry s „ostrými“ hranami, ve frekvenční doméně je výhodné používat filtry s hranami „pozvolnými“.

Složitější filtrace
inverzní filtrace zpětná filtrace na základě konvolutorní funkce
Wienerův filtr zpětná filtrace na základě znalosti parametrů šumu a konvolutorní funkce
Kalmanův filtr - vhodné pro predikci polohy objektů

Last modification 2009-09-10